Урок №5 (05.10.2005)
Решение сложных задач на закон сохранения импульса.

1. Задачи

1. Обезьяна массой уравновешена противовесом на блоке . Блок уравновешен грузом на блоке . Система неподвижна. С какой скоростью будет двигаться груз массой , если обезьяна будет равномерно выбирать верёвку со скоростью относительно себя? Массу блоков не учитывать, трением пренебречь, верёвки невесомы и нерастяжимы.

Решение. Сначала разбираемся со скоростью обезьяны относительно блока : т.к. массы одинаковы, то из симметрии следует, что скорости груза и обезьяны равны, т.е. они равны . На самом деле это верно только в том случае, если обезьяна начала ползти из положения равновесия, что, видимо, подразумевается в задаче.

Пусть теперь скорость груза равна и направлена вверх. Тогда скорость точки относительно потолка равна и направлена вниз, и скорости обезьяны и груза относительно потолка равны . Т.к. силы, действующие на блок и груз одинаковы, то и изменение импульса с двух сторон блока одно и то же, следовательно , откуда получаем .

Вторую часть задачи можно провести по-другому. Заметим, что центр масс системы обезьяна-блок_A-груз_m движется вверх со скоростью . Фактически, заменив эту систему воображаемой обезьяной массы ползущей вверх со скоростью мы сведём задачу к первой части. Из этого, повторяя рассуждения о симметрии, получим сразу ответ .

2. Две заряженные частицы массы и , имеющие равные по модулю импульсы, одновременно вылетают навстречу друг другу из точек и . Частицы взаимодействуют только друг другом. По траектории частицы массы , приведенной на рисунке, восстановите траекторию другой частицы.

3. Два тела массы и связаны натянутой нитью длины и движутся по гладкой горизонтальной поверхности. В некоторый момент времени оказалось, что первое тело неподвижно, а скорость второго тела, равная , перпендикулярна нити. Определить силу натяжения нити.

4. На тележке установлен цилиндрический сосуд с площадью сечения , наполненный жидкостью плотности . От сосуда параллельно полу отходит длинная и тонкая горизонтальная трубка, небольшой отрезок которой вблизи конца загнут по вертикали вниз. Расстояние от оси сосуда до отверстия трубки равно . Уровень жидкости в сосуде опускается с ускорением . Какой горизонтальной силой можно удержать тележку на месте?

Решение.

Поместим точку ноль горизонтальной оси под цилиндром. Запишем функцию изменения положения точки центра масс системы от времени:

, где – масса жидкости, вылившейся из сосуда на расстоянии , а – полная масса жидкости.

, где – уровень жидкости в сосуде, считая от верхней точки (т.е. ).

.

Подставим одно в другое и получим:

, или

, где

– ускорение центра масс системы.

Мы видим, что центр масс системы движется по оси равноускоренно. Значит, его скорость меняется со временем по закону .

Теперь мы можем сказать, как зависит от времени импульс системы:

.

Воспользуемся вторым законом Ньютона в импульсной форме, чтобы определить силу, в результате действия которой меняется импульс системы (единственная такая сила, действующая по оси – это искомая сила реакции опоры).

.

Наконец, подставляя выражение для , получим:

.